丹阳：观念与数学纵横谈

2013年7月6日星期六

丹阳：观念与数学纵横谈

◎丹阳

秉烛夜游梦中人

从1902年到现在2002年整100年间，数学处于漫长的危机黑夜里。但是几乎所有的科学家都不怎么担心这一点，因为在以往，哪一次的危机被解决之后，都是几乎完全包容了以前的知识，而不需要他们重新学习全新的一切。或许是巧合吧，下个月正好也适逢诺贝尔奖设立100周年，听说届时健在的200余位历届各类获奖者将在斯德哥尔摩云集一堂，或许他们依然对科学充满了最初的憧憬。

而这次的危机注定反常，因为这100年是公认的有史以来科学发展最为迅猛的一个世纪，特别是后50年以来，科学已经进入了人类的每一个角落，速度快得以至于有人用爆炸这个词来形容。可是这一次的数学危机却丝毫没有要被解决的迹象，而科学的发展竟贸然进入危机所标明的危险领域，投入形式化系统的怀抱，这可是个相当令人吃惊的结局。

不全是大家失去了理智，电脑及相关技术所带来的现实利益实在是太诱人了，无人能抵。谁能指望一个瘾君子去认真考究毒品的危害呢？

我们准备全景概览数学，但不准备使用数学的描述和证明、也不准备过于深入细致，那将阻碍很多人。我的一个信念是：一门真正的科学，应该是大多数人都能够不同程度理解的，而不论教育背景如何。不过首先说明一点,其实科学的发展在相当长一段历史时期是很难区分什么数学、物理、哲学等，哪怕到了今天把学科细分到鸡毛蒜皮的程度，各个学科仍然要互相交织在一起，所以也没必要单纯地讨论哪一个。

以数学为主来认识是因为一方面数学处于核心地位，一方面数学的概念、运算和证明等等无论形式和内容，都包含着科学最根本的观念，这里面有的东西人能看到，而有的却是人根本就没有想过那意味着什么。

2000年前的人类社会，和现在的人类社会相去甚远，思想观念上的差异也同样有着天渊之别。而即使是400年前的人类社会，也同样和现代的人类社会差异很大。一直到牛顿和莱布尼茨，他们的科学研究都是要为了证实上帝的存在，而且确实起到了这样的作用。这是一段插话。

模型的概念在现代数学中占有着至关重要的地位。研究人员总是把自己的观察和想法组成概念的体系，这就是模型。数学是模型的数学，模型不是事实，也不代表事实，代表人自己的想法、观念等等。模型的观念被贯穿到科学研究的任何一个领域，从宇宙模型、天体力学模型到分子原子量子力学模型，甚至经济学模型、语言模型。不过有一点，在许许多多的领域内，就像量子力学、经济学那样，有效的模型十分罕见，也不能通过观察而从某种自动的步骤推演出来。

一般而言，建立模型是为了追求数学、逻辑的表达，最终是要量化。用逻辑的方式描述模型，就形成了五花八门的理论，要把理论反作用到现实当中去，就离不开数学。如果模型玩不转，那么数学也只能是干瞪眼。而我们受过教育的人所熟知的什么整数、实数、虚数等，加减乘除等，原来都是一种模型、也是一种集合，也就是观念。这些是数学的基本元素。建立模型，需要抽象的能力，这种能力也就是用自己的观念从所观察的事物中找到符合自己观念的东西的能力。

大梦只隔一张纸

数学归结为数和运算的学说，数和运算对应于量和逻辑。

最简单的数学模型就是自然数的集合：1、2、3 ……。可是自然数有多少个呢？似乎这个问题太简单了，无穷多嘛！无穷就是永无止境，我们却永远都不能找到全部的自然数。对于这个问题，自古以来就分成了两个观点：实无穷（此外全无）和潜无穷（此外永有）。不过大家一个共同的前提是，已知的自然数用已知的方式顺序递增（加法）得到的还是自然数。而自然数的意思就是自然存在的数，这种无穷是根据直观观念想象的。

数的概念对不对？数的概念能否反映事物的属性？加法是实际的自然现象对应？N与N＋1是否描述的不仅是量的变化？在我们耳闻目睹的范围之内，确实很多都是这样的，这就形成了现代科学最基本的固有观念，从而形成了现代科学的基础；可是即使在我们所了解的身边，也确实有更多的事物和现象并非如此啊。可以对以上每一个疑问都作出明确的否定的回答和与过去截然不同的答案。

实质的错误在于：个体、范围和空间；是由于人对范围和时空的直觉认识是极其狭隘的。实际人所接触到的最大数字量级是1024光年，最小是10-36米（超弦理论）。而绝大部分学科的研究数量级都超不出地球的范围。数字可以按照想象随意地累加，而自然世界不是这样的：首先每当增加到一定范围，那就是进入另外一层时空了，成为另外的单独个体了；我们认为的个体是无数无数的不同时空和范围内无数个体的“叠加”（这个词仅仅能描述这种现象，实际并非我们认为的那种叠加方式）。还有加法所表现的内涵，亦非自然所有。

这里就顺带出了关于集合概念的问题和概念本身的问题，以及那些被明确的许多推理规则的问题。根本上是推理和概念不相容的问题。仅仅是扩大了时空的认识之后，我们就可以用数学的方式证明现在的这些基本概念是错误的。以后如果有机会我们会用纯粹的数学方式进行证明。

自然数的下一个阶段就是整数的集合，这是因为涉及到减法所带来的，这是归纳演绎观念的必然扩展。正负涉及阴阳，而加减涉及益损、得失和变化；并不是一回事。

后来又出现了有理数、无理数概念，每一次的前进都是旧有思维观念的一次成功再包装。连续、无限、可分的基础理念从不动摇且一直到现在，一方面制造着错误的产品，一方面封闭着自己的认识。一直到实数概念的出现，就把这个棺材板儿给钉上了最后一颗钉子。所有的现代科学的运算、逻辑、复杂化的表达形式，都是线性思维的产物，所谓的辩证法是线形思维的直接生成物。线性思维，是直观观察的必然结果之一。因为人的一切观察、体验和验证，都必须转化成为人的感官体验。表面人的感官不能超越分子组成的事物，甚至仅仅被限定在低速传导神经所划定的狭小范围。

有谁会想到呢，实数的概念其实已经从宏观和微观两个方向上都否认了另外时空的存在。尺度小到一定程度也进入了另外空间，可是实数的概念把这都纳入了这个空间的认识体系。现在搞系统科学，他们以为参数多了条件多了就能搞出什么新的名堂呢。大和复杂到一定程度，不从多个空间进行研究是毫无出路的，那已经不是这个时空之内的东西了。

一切都是生命，我们还没有从生命的角度来谈论；人的这一切观念都是被操纵着的，我们尚未提及这一点；完整的新理论我们也没有提出来，这里只是从新的角度议论了一下。但是问题的实质我们已经都指出来了。到时候，世人一定重新看待中国古老的五行学说，更会惊叹法的博大精深。

“一梦万年终靠岸。”（李洪志：《洪吟·苦度》）人类永恒的悲哀，结束了。

（正见网）

发稿：2002年11月16日